Les nombres adimensionnels : un outil de base pour l'ingénieur CFD

Nombre de Reynolds, de Mach, de Prandtl… En mécanique des fluides, il est très fréquent de croiser certains d’entre eux, c’est même probablement impossible de ne pas le faire. Utilisés à bon escient, ils représentent un véritable atout pour la modélisation d’un problème, notamment dans le cadre de la CFD. Dans cet article, je propose un humble aperçu de ces nombres adimensionnels et de leur utilité, pour ceux qui n’y sont pas familiers.

Nombres adimensionnels : quelle origine, quelle utilité?

Une explication simple

En physique, chaque grandeur s’exprime à partir d’unités. Par exemple, le temps peut s’exprimer en secondes, en heures, en jours. Si le nombre d’unités est illimité, celles-ci sont en revanche basées sur un système dimensionnel de taille fini : il n’existe actuellement que 7 dimensions pour décrire l’ensemble de la physique actuelle en se basant sur le système international : Masse, longueur, temps, température, intensité électrique, intensité lumineuse et quantité de matière.

Comme l’indique leur nom, les nombres adimensionnels sont issus du concept d’analyse dimensionnelle (qui n’est pas propre à la mécanique des fluides!). De manière succincte, il s’agit d’une méthodologie générale permettant d’obtenir des relations physiques sans dimension, ceci dans le but de :

✓ Diminuer le nombre de variables nécessaires à la description d’un phénomène physique.

✓ Étudier les solutions asymptotiques d’une loi en identifiant les termes prépondérants.

✓ Établir un lien entre des systèmes de dimensions différentes (principe de similitude).

Plusieurs manières de procéder sont possibles, la plus connue étant l’utilisation du théorème π de Vaschy-Buckingham. Ce théorème permet à la fois de préciser le nombre de variables adimensionnelles indépendantes que l’on peut construire à partir des grandeurs dimensionnelles fondamentales du problème, tout en les construisant ensuite. Au final, le résultat d’une analyse dimensionnelle est donc l’obtention de groupes sans dimensions équivalent au système dimensionnel.

Une application typique en mécanique des fluides

Prenons l’exemple de l’équation de Navier-Stokes dans un cas classique : celui d’un fluide incompressible, avec viscosité constante. Elle peut s’écrire de la manière suivante :

1

avec V le vecteur vitesse, p la pression, ρ la masse volumique, ν la viscosité cinématique et g la force de gravité.

Sans entrer dans les détails, une fois le nombre de paramètres indépendants déterminés, chaque grandeur physique X peut être décomposée comme le produit d’une grandeur adimensionnelle X* par une dimension de référence X0 liée au problème, soit X = X0.X*

Après quelques manipulations, il est ainsi possible d’obtenir :

2

Cette équation peut être rendue sans dimension en la divisant par l’un des termes entre crochets. Assez souvent, concernant l’équation de Navier-Stokes, c’est le terme lié à l’accélération convective qui est utilisé pour cela. L’équation devient alors :

3

Cette fois, chaque terme entre crochets est sans dimension. Et il se trouve que dans cet exemple, ils représentent quatre nombres adimensionnels classiques en mécanique des fluides :

4

où :

Sr est le nombre de Strouhal

Eu est le nombre d’Euler

Fr est le nombre de Froude

Re est le nombre de Reynolds

Remarque : Les nombres adimensionnels portent généralement le nom du scientifique ayant mis en évidence leur intérêt.

Une approche phénoménologique simplifiée

L’utilité des nombres adimensionnels s’explique facilement : ils permettent de quantifier l’importance relative des différents effets physiques en jeu. Ainsi, si l’on repart de l’exemple précédent :

✓ Le nombre de Strouhal est formé à partir du rapport entre le terme d’accélération instationnaire et le terme d’accélération convective. Il permet de caractériser la propension de l’écoulement à adopter ou non un mouvement oscillatoire.

✓ Le nombre d’Euler caractérise la relation entre le terme de pression et le terme d’accélération convective. Il permet d’évaluer l’importance de la force de pression par rapport à la force d’inertie (dans la pratique, on trouve souvent un facteur 2 supplémentaire au dénominateur pour introduire une notion de pression dynamique).

✓ Le nombre de Froude évalue le rapport entre le terme d’inertie et le terme lié à la gravité. Il est particulièrement important dans le cas d’écoulement à surface libre, par exemple.

✓ Le nombre de Reynolds caractérise le rapport entre le terme d’inertie et le terme de viscosité. Cela permet de déceler la nature de l’écoulement (laminaire ou turbulent).

L'application à la CFD

Comme expliqué dans cet article, la première phase du travail d’un ingénieur CFD consiste à modéliser correctement le problème auquel il est confronté. Cela inclut notamment de résoudre les bonnes équations, de prendre en compte les bons termes, mais aussi de simplifier le problème lorsque c’est pertinent. A ce titre, l’utilisation des nombres adimensionnels présente un intérêt certain :

✓ Cela peut permettre de déterminer les modèles à utiliser. Par exemple, déterminer le nombre de Reynolds caractéristique du problème permet de savoir s’il est nécessaire ou non d’utiliser un modèle de turbulence.

✓ Cela peut également permettre de négliger certains termes des équations, dans le cas par exemple où l’ordre de grandeur d’un des termes est clairement inférieur à celui de tous les autres.

De manière classique, lorsqu’un ingénieur CFD est confronté à un problème à résoudre en mécanique des fluides, il cherchera donc presque systématiquement à identifier les nombres adimensionnels caractéristiques du problème en question, et à les évaluer.

Quelques nombres adimensionnels fréquemment rencontrés

Cette sélection est évidemment tout sauf exhaustive, car en pratique, il existe une multitude de ces nombres!

Remarque : une liste plus complète est par exemple disponible sur cette page wikipédia.

Le nombre de Reynolds

Noté Re, il est défini comme :

avec V la vitesse caractéristique du fluide, Lc la dimension caractéristique de l’écoulement et ν la viscosité cinématique du fluide. Il représente le rapport entre les forces d’inertie et les forces visqueuses, et permet de caractériser le type d’écoulement (laminaire ou turbulent).

Le nombre de Mach

Noté Ma, il est défini comme :

où V est la vitesse du fluide et a est la célérité du son dans l’environnement considéré. Il mesure le rapport entre les forces liées au mouvement et la compressibilité du fluide, et permet donc d’évaluer la pertinence de l’hypothèse d’incompressibilité du fluide, par exemple.

Le nombre de Prandtl

Noté Pr, il est défini comme :

avec ν la viscosité cinématique du fluide, α sa diffusivité thermique, μ sa viscosité dynamique, λ sa conductivité thermique et Cp sa capacité thermique massique. Ce nombre permet de comparer la rapidité des phénomènes thermiques et des phénomènes hydrodynamiques dans un fluide.

Le nombre de Froude

Noté Fr, il est défini comme :

où v est la vitesse du fluide, g la gravité et L la longueur caractéristique de l’écoulement. Comme dit dans le paragraphe précédent, ce nombre mesure le rapport entre la force d’inertie et la force liée à la gravitation.

Le nombre de Rayleigh

Noté Ra, il est défini comme :

avec g la gravité, β le coefficient de dilatation thermique volumétrique du fluide, α sa diffusivité thermique, ν sa viscosité cinématique, Ts la température de la paroi, T∞ la température loin de la paroi, et Lc la dimension caractéristique de l’écoulement. Ce nombre permet de caractériser le transfert de chaleur au sein d’un fluide, c’est à dire d’évaluer l’importance de la convection par rapport à la conduction. On peut noter qu’il peut être défini à partir d’autres nombres sans dimension, le nombre de Prandtl Pr et le nombre de Grashof Gr.

Pour conclure

Dans la pratique, les nombres adimensionnels existants sont très nombreux. Certains apparaissent dans la plupart des problèmes de mécanique des fluides rencontrés, tandis que d’autres sont beaucoup plus spécifiques. Avec l’expérience, l’ingénieur CFD finit par connaître les valeurs critiques associées à certains de ces nombres, valeurs qui permettent généralement de caractériser un changement dans la nature de l’écoulement.

Si cet article vous a plu, ou si vous souhaitez en discuter, n’hésitez pas à vous manifester !

A bientôt!

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *